Wielokąty opisane na okręgu i wielokąty wpisane w okrąg

Każdy wielokąt foremny (a więc taki, którego wszystkie boki są równe) da się opisać na okręgu. Można także taki wielokąt wpisać w okrąg. Ale co właściwie znaczy “opisać na okręgu” lub “wpisać w okrąg”?

Zajmijmy się pierwszym z tych przypadków. Gdy mówimy o wielokącie opisanym na okręgu, mamy na myśli sytuację, gdy owy okrąg jest styczny do wszystkich boków wielokąta (okrąg znajduje się wewnątrz figury). Jak ustalić promień takiego okręgu? Oto kilka przykładów:

• jeżeli chcemy opisać kwadrat na okręgu, promień tego okręgu będzie wynosił połowę długości boku kwadratu, wzór będzie wyglądał tak:  r = 1 : 2 a

• w przypadku trójkąta: r = (a * √3) : 6

• zaś w przypadku sześciokąta: r = (a * √ 3) : 2

( “r” jest symbolem promienia okręgu, “a” symbolem boku wielokąta)

Wielokąt wpisany w okrąg, a więc druga z sytuacji, o których mówimy, występuje wtedy, gdy wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu (wielokąt znajduje się wewnątrz okręgu). I znów najpotrzebniejsze wzory, to te zawierające promień takiego okręgu oraz jeden z boków figury:

• dla kwadratu będzie to: r = (a * √2) : 2

• dla trójkąta: r = (a * √3) : 3

• w przypadku sześciokąta promień okręgu będzie równy długości boku r = a

Co ciekawe w każdym przypadku środek okręgu wpisanego w wielokąt będzie także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.